群的基本概念

定义

封闭性
结合律
存在唯一的单位元素
存在唯一的逆元

重排定理

用一个群中的元素乘以群中的所有元素，相当于对群做一次重排。

证明是非常简单的，只需要用到群的定义就行，但是这一定理的使用价值非常高，可以证明很多命题。

子群

子群=群+子集（真子集对应于非平庸子群，非真子集对应于平庸子群）。证明只需封闭性与逆元存在即可，其他性质自动满足。

构造（寻找）子群的最简单方式就是循环群，循环群也非常重要，在证明很多关于子群的性质的时候都有用。

陪集定理

可以用陪集分割群，结论就是Lagrange定理：子群的阶一定是群阶的因子。

例子：

群的阶是群中元素的个数，元素的阶是元素生成的循环群中元素的个数。

类

可以通过共轭关系$hgh^{-1}=f$联系在一起的元素($g, f$)同为一个类。

类中元素个数的定理

类中元素的个数一定是群阶的因子。

证明需要考虑类中元素的生成过程，找到与之对易的元素构成子集，用Lagrange定理即可。这个定理主要在应用层面比较重要，尤其是点群的部分。

共轭子群与不变子群

共轭子群是说两个群可以通过一个元素共轭联系起来，不变子群是说子群的共轭子群是自身。

比较方便的寻找不变子群的方法是用它的另一个等价定义：先不变，后子群 -> 由几类元素构成的子群。

例子：$D_4$群群元分类与不变子群，这一点在学了点群以后就简单了。

$D_4$群的非平庸不变子群是：$C_4, C_2, D_2^{(1)}, D_2^{(2)}$.

商群

群按照不变子群分割得到的陪集作为元素构成的群，在同态映射的时候特别有用。

同构映射

同构是说两个群是同一个群，$G \cong H$。

同态映射

将不变子群映射到单位元素，将陪集映射到其他元素。这一点是由同态核定理保证的。

自同构映射

群到自身的映射，将单位元素映成单位元素，互逆元素映成互逆元素。

内自同构映射

这个映射操作是通过群中元素的共轭操作实现的。

变换群

其实想想看，这一概念就是群表示理论的初步。定义群变换的空间（群表示中是线性空间），群元操作（群表示中是线性操作），就是变换群。

$S_G$变换空间是G的群（群空间）。Cayley定理给出，群$G$一定是$S_G$的子群，（所以群$G$一定有正则表示）。

轨道与不变子集

在群G操作下不变的集合是不变子集，在G操作下等价（可以相互抵达的点）的点是G轨道。

结论：G轨道上的点以及他们的任意并是不变子集。

迷向子群

注意“子群”是G中元素的概念，这里指的是对于某一元素x，使得这一点保持不变的操作的子群。这一点在书上的定义并不明确，其实他要表达的意思是，迷向子群$G^x = {\forall h \in G, h \cdot x = x}$。

用迷向子群分割群得到的陪集，会不重不漏地给出x的G轨道上的点。其实这就是轨道-稳定子定理，所谓的迷向子群在这一定义下就是稳定子群。可以证明稳定子构成的集合一定是群（封闭性与逆元存在），接着证明这一定理也是显然的，作为复习，下面证明一下：

不妨 $G = {g_0 G^x, …, g_l G^x}$. 对于同一个$g_i G^x$中的元素，显然得到是相同的点；对于不同$g_i G^x, g_j G^x$ 中的点，如果给出同一个点，说明$g_i x = g_j x$，说明$g_i^{-1}g_j \in G^x$. 由重排定理，$g_i^{-1}g_j G^x = G^x$. $g_i G^x = (g_i^{-1}g_j G^x) = g_j G^x$, 矛盾（给出的不是不同陪集）.

例子：

直积

对一个群做直积分解，得到的两个群是等价的，同时都是不变子群。（用直积分解的定义可以证明）

具体而言，$(g_{1\alpha}g_{2\beta})(g_{1\alpha}^\prime g_{2\beta}^\prime )= (g_{1\alpha}g_{1\alpha}^\prime )(g_{2\beta}g_{2\beta}^\prime)$。当然这种带括号的定义是没有什么意思的，补充定义二者之间的乘法（就是直积分解）才是我们关注的重点。

例子：

直积分解也不是唯一的，但是可以通过直积分解得到很多直积群的性质。

半直积

定义：群$G_2$是群$G_1$的自同构映射群的同态映射，有：

\[<g_{1\alpha}g_{2\beta}><g_{1\alpha}^\prime g_{2\beta}^\prime >= <g_{1\alpha} \nu_{2\beta}(g_{1\alpha}^\prime)><g_{2\beta}g_{2\beta}^\prime>\]

注意这里的同态映射不要求是满射，如果$G_2$被映射为了$G_1$的自同构群中的单位元素，那么这就是直积。同时这也反映出半直积分解一般不是唯一的。

讨论: 如何理解半直积的关系?

其实在定义的时候可以反过来,这也是等价的。对于群$G$，存在不变子群（正规子群）$N$ 和子群 $H$，只要满足两群相乘得到的是G，两个子群的交集为单位元素即可。如果子群H也是不变子群，那么半直积就变成了直积关系。构造的方式是简单的： $$
=<n_1 h_1n_2h_1^{-1}> $$ 这里也可以看出要求子群N是不变子群的理由。这是内半直积的定义，其实和外半直积（书上的定义）是等价的，但是更加实用。参考，[半直积的理解](https://www.zhihu.com/question/511273235/answer/2807952796?share_code=xSHZC7qq6z1o&utm_psn=1969133140959290460)

另外还有值得注意的地方，就是点群中判断一个可以“转过去”的轴是否在群中。其实还是比较明确的，问题就是，已知$O C_{\vec k}(\Psi ) O^{-1} \in G$, 一定存在$O^\prime C_{\vec k}(\Psi) = C_{O \vec k}(\Psi)$. 借助固有子群的性质是显然的。

群的表示理论

这一部分的内容比较抽象，一些比较严谨的讨论在group representation中。主要的想法是，用一套统一的语言（线性代数）表示群之间的关系，用抽象的变换代替具体的群元（用数字3代表三个苹果）。此外，同构线性代数的性质可以得到群之间的性质，这是我们感兴趣的点。

线性空间与线性变换

主要抓住基的选取和向量、变换之间的关系即可。这一部分在上面的链接中有比较好的讨论，直观的理解：

discussion_page-0001

discussion_page-0002

discussion_page-0003

线性空间的内积

内积的定义方式有很多种，只要满足内积的要求即可（主要是一个半线性）。但是一般这里常用的内积定义方式是，

\[(\vec x | \vec y) = \frac 1 n \sum_i^n x_i^* y_i\]

线性变换群

复 ($\mathbb C$) 线性空间 ($V$) 上的所有非奇异 ($det A \neq 0$) 线性变换构成一个群 $GL(V, \mathbb C)$.

忠实表示

就是同态映射退化成了同构映射。

群的线性表示的关系

群表示的分解：要将一个群的线性表示分解成一系列（不可约）表示的直和（群表示的约化，用矩阵的语言说就是矩阵的同时对角化）。

群表示的等价：可以通过一个相似变换联系起来的表示。

研究群的线性表示，就是找到所有的不等价不可约（酉/幺正）表示。借助线性代数中的结论，这一部分的研究就变得简单了。

线性代数知识

在有限维复线性空间中，酉（幺正）矩阵 $U^\dagger U = 1$ 和厄米矩阵 $U = U^\dagger$ 可以酉（幺正）相似对角化；

证明是简单的，可以直接用数学归纳法。
矩阵同时对角化的充分条件：两个矩阵可以交换，并且至少有一个可以对角化。

使用不变子空间的性质，这一点也是容易证明的。

在群表示理论中这一结果更加宽泛：